Matematika

Výrok je oznamovacia veta, o ktorej možno jednoznačne rozhodnúť, či je pravdivá alebo nepravdivá. Otázky, rozkazy ani zvolania nie sú výroky.

Každý výrok má práve jednu pravdivostnú hodnotu: pravda (1) alebo nepravda (0).

Negácia výroku p je výrok ¬p (čítame „nie p"), ktorý má opačnú pravdivostnú hodnotu. Ak p je pravdivý, ¬p je nepravdivý a naopak.

Vzniká spojením jednoduchých výrokov pomocou logických spojok:

Obsahuje kvantifikátor, ktorý určuje rozsah platnosti:

• Všeobecný kvantifikátor ∀ – „pre každé x platí…"
• Existenčný kvantifikátor ∃ – „existuje aspoň jedno x také, že…"

Množina je súbor navzájom rozlíšiteľných objektov (prvkov). Záleží len na tom, ktoré prvky sú v množine – nie na ich poradí ani počte výskytov.

• Výpisom prvkov: A = {2, 4, 6, 8}
• Charakteristickou vlastnosťou: A = {x ∈ ℕ | x je párne, x < 10}
• Graficky (Vennovým diagramom)

Množina A je podmnožinou množiny B (A ⊆ B), ak každý prvok A je aj prvkom B. Ak navyše A ≠ B, hovoríme o vlastnej podmnožine (A ⊂ B).

Doplnok množiny A (v rámci univerzálnej množiny U) je A' = U \ A – obsahuje všetky prvky U, ktoré nepatria do A.

Grafické znázornenie množín pomocou prekrývajúcich sa kruhov v obdĺžniku (univerzálna množina).

Prvočíslo je prirodzené číslo väčšie ako 1, ktoré má práve dvoch deliteľov: 1 a seba samého. Zložené číslo má viac ako dvoch deliteľov.

Deliteľ čísla n je číslo d také, že d | n (d delí n bez zvyšku). Čísla a, b sú nesúdeliteľné (nesúdeliteľné), ak ich NSD = 1 (nemajú spoločného deliteľa okrem 1).

Každé zložené číslo možno vyjadriť ako súčin prvočísel (jednoznačne, až na poradie).

NSD(a, b) = najväčšie číslo, ktoré delí obe čísla. Vypočítame ho z prvočíselného rozkladu: berieme spoločných prvočíselných deliteľov s menšími mocninami.

NSN(a, b) = najmenšie číslo, ktoré je násobkom oboch čísel. Berieme všetkých prvočíselných deliteľov s väčšími mocninami.

aⁿ = a · a · … · a (n-krát), kde a je základ a n ∈ ℕ je exponent.

Pre n ∈ ℤ, n < 0 a a ≠ 0 platí: a⁻ⁿ = 1/aⁿ

a^(p/q) = ᵠ√(aᵖ), kde p/q je zlomok v základnom tvare, a > 0.

√a je nezáporné číslo b také, že b² = a. Definovaná pre a ≥ 0.

Funkcia f je predpis, ktorý každému prvku x z definičného oboru priradí práve jeden prvok y. Píšeme y = f(x), kde x je argument (nezávislá premenná) a y je funkčná hodnota.

Množina všetkých hodnôt x, pre ktoré má predpis zmysel. Typické obmedzenia:

Množina všetkých hodnôt y, ktoré funkcia skutočne nadobúda. Nepliesť s definičným oborom!

Opisuje, ako sa správa funkcia pri raste x:

Funkcia môže byť rastúca len na časti D(f): napr. f(x) = x² klesá na (−∞, 0⟩ a rastie na ⟨0, +∞).

Rôznym hodnotám x zodpovedajú rôzne hodnoty y:

Existuje iba k prostej funkcii. „Otočíme" priradenie: ak y = f(x), potom x = f⁻¹(y).

Vyberte typ funkcie a pozorujte jej tvar a vlastnosti:

f(x) = kx + q, kde k, q ∈ ℝ a k ≠ 0.

k = smernica (sklonový koeficient) – určuje sklon priamky
q = absolútny člen – priesečník s osou y

D(f) = ℝ  ·  H(f) = ℝ

• Graf je priamka
• k > 0 → funkcia rastúca
• k < 0 → funkcia klesajúca
• Funkcia je prostá (injektívna)
• Funkcia je neohraničená
• Priesečník s x-osou: x = −q/k  ·  Priesečník s y-osou: [0, q]

f(x) = (ax + b) / (cx + d), kde a, b, c, d ∈ ℝ, c ≠ 0 a ad − bc ≠ 0.

Najjednoduchší tvar: f(x) = k / x + q (k ≠ 0), čo je posunutá hyperbola.

D(f) = ℝ \ {−d/c}  – vylúčime hodnotu x, pre ktorú je menovateľ 0.

H(f) = ℝ \ {a/c}  – funkcia nenadobúda hodnotu a/c (horizontálna asymptota).

Graf lineárnej lomenej funkcie je hyperbola so dvoma asymptotami:

• Zvislá asymptota: x = −d/c
• Vodorovná asymptota: y = a/c

• Funkcia je prostá
• Funkcia je neohraničená
• Na každej zo svojich dvoch vetiev je monotónna (rastúca alebo klesajúca podľa znamienka ad−bc)
• Graf má dve asymptoty – zvislú a vodorovnú
• Funkcia nie je definovaná v bode x = −d/c

f(x) = xⁿ, kde n ∈ ℝ je exponent. Tvar grafu a vlastnosti závisia od hodnoty n.

• Všetky prechádzajú bodom [1, 1] (pre n>0) a bodom [0, 0] (ak je definovaná)
• Párne funkcie sú súmerné podľa osi y
• Nepárne funkcie majú stred súmernosti v počiatku
• Čím väčší |n|, tým „strmejší" tvar pri |x|>1 a „plochejší" pri |x|<1

f(x) = ax² + bx + c, kde a, b, c ∈ ℝ a a ≠ 0.

Alternatívne (vrcholový tvar): f(x) = a(x − p)² + q, kde [p, q] je vrchol paraboly.

D(f) = ℝ

H(f) = ⟨q, +∞) ak a > 0  ·  H(f) = (−∞, q⟩ ak a < 0

Graf je parabola. Osa súmernosti: x = p = −b/(2a).

Vrchol V = [p, q], kde p = −b/(2a) a q = f(p) = c − b²/(4a).

S osou y: x = 0 → y = c, teda bod [0, c].

S osou x: riešime kvadratickú rovnicu ax² + bx + c = 0 pomocou diskriminantu:

• a > 0: parabola otvára nahor, funkcia má minimum v [p, q]
• a < 0: parabola otvára nadol, funkcia má maximum v [p, q]
• Osa súmernosti: priamka x = p
• Funkcia je klesajúca na (−∞, p⟩ (pre a>0) a rastúca na ⟨p, +∞)
• Funkcia nie je prostá na celom D(f), ale je prostá na každom z intervalov (−∞, p⟩ a ⟨p, +∞)

Logaritmus čísla x pri základe a (a > 0, a ≠ 1, x > 0) je taký exponent y, že aʸ = x.

Píšeme: y = logₐ x  ·  Špeciálne prípady: log₁₀ x = log x (dekadický), logₑ x = ln x (prirodzený)

f(x) = logₐ x, kde a > 0, a ≠ 1, x > 0.

D(f) = (0, +∞)  ·  H(f) = ℝ

f(x) = aˣ, kde a > 0, a ≠ 1, x ∈ ℝ.

D(f) = ℝ  ·  H(f) = (0, +∞)

Exponenciálna a logaritmická funkcia so základom a sú navzájom inverzné:

Pre uhol x (v radiánoch) na jednotkovej kružnici (polomer 1) s bodom P = [cos x, sin x] platí: sin x = y-súradnica, cos x = x-súradnica bodu P.

V trojuholníku ABC označujeme: strany a, b, c oproti uhlom α, β, γ. Platí α + β + γ = 180°.

Použitie: Keď poznáme dva uhly a jednu stranu (prípad UUS) alebo dve strany a uhol oproti jednej z nich (prípad SSU).

Použitie: Keď poznáme tri strany (prípad SSS) alebo dve strany a uhol medzi nimi (prípad SUS).

V pravouhlom trojuholníku ABC s pravým uhlom pri A, preponou c a odvesnami a, b platí:

Platia v pravouhlom trojuholníku, kde v je výška na preponu c, p je úsek prepony pri vrchole s uhlom β a q je úsek pri γ (c = p + q).

Dva trojuholníky sú zhodné, ak existuje zhodné zobrazenie (posun, otočenie, osová súmernosť), ktoré jeden zobrazí na druhý. Majú rovnaké strany aj uhly.

Dva trojuholníky sú podobné (△ABC ~ △DEF), ak majú rovnaké uhly a pomery zodpovedajúcich strán sú rovnaké (koeficient podobnosti k):

Zobrazenie podľa osi o: každý bod A sa zobrazí na bod A' tak, že os o je osou úsečky AA'. Samodružné body: všetky body na osi o.

Zobrazenie podľa stredového bodu S: bod A sa zobrazí na A' tak, že S je stred úsečky AA'. Jediný samodružný bod: S.

Každý bod sa posunie o rovnaký vektor v⃗ = (a, b). Žiadny samodružný bod (ak v⃗ ≠ 0). Zachováva vzdialenosti aj orientáciu.

Každý bod sa otočí o uhol φ okolo stredového bodu O. Samodružný bod: len O. Zachováva vzdialenosti.

Podobné zobrazenie so stredovým bodom O a koeficientom k ≠ 0. Každý bod A sa zobrazí na A' tak, že OA' = k · OA. Samodružný bod: O.

• |k| > 1 → zväčšenie  ·  |k| < 1 → zmenšenie
• k < 0 → obraz je na opačnej strane O (stredová súmernosť + zmena veľkosti)

h = výška, e, f = uhlopriečky

Štvorec ⊂ Obdĺžnik ⊂ Rovnobežník  ·  Štvorec ⊂ Kosoštvorec ⊂ Rovnobežník  ·  Rovnobežník ⊂ Lichobežník ⊂ Štvoruholník

Aritmetická postupnosť je taká postupnosť čísel, v ktorej je rozdiel každých dvoch po sebe idúcich členov konštantný. Táto konštanta sa nazýva diferencia d.

aₙ₊₁ − aₙ = d pre všetky n ∈ ℕ

• Každý člen je aritmetickým priemerom svojich susedov: aₙ = (aₙ₋₁ + aₙ₊₁)/2
• d > 0 → postupnosť rastúca  ·  d < 0 → klesajúca  ·  d = 0 → konštantná
• Graf bodov [n, aₙ] leží na priamke (lineárna závislosť)

Geometrická postupnosť je taká postupnosť, v ktorej je podiel každých dvoch po sebe idúcich členov konštantný. Táto konštanta sa nazýva kvocient q.

aₙ₊₁ / aₙ = q pre všetky n ∈ ℕ (a₁ ≠ 0, q ≠ 0)

• Každý člen je geometrickým priemerom susedov: aₙ² = aₙ₋₁ · aₙ₊₁
• q > 1 a a₁ > 0 → rastúca  ·  0 < q < 1 → klesajúca
• Graf bodov [n, aₙ] má tvar exponenciálnej funkcie
• Geometrická postupnosť modeluje exponenciálny rast/pokles (napr. úrokovanie, rádioaktivita)

Faktoriál prirodzeného čísla n (píšeme n!) je súčin všetkých prirodzených čísel od 1 po n.

Kombinačné číslo C(n, k) udáva počet spôsobov, ako vybrať k prvkov z n prvkov bez ohľadu na poradie.

Grafické usporiadanie kombinačných čísel: každé číslo je súčtom dvoch čísel nad ním. Riadok n zodpovedá koeficientom (a+b)ⁿ.

Zaujímavé vlastnosti: súčet riadku n = 2ⁿ  ·  súčet riadku 3 (1+3+3+1) = 8 = 2³

Usporiadanie všetkých n prvkov do radu (záleží na poradí, každý prvok použijeme práve raz).

Výber k prvkov z n, kde záleží na poradí a každý prvok možno použiť najviac raz.

Výber k prvkov z n, kde záleží na poradí a každý prvok možno použiť viackrát.

Výber k prvkov z n, kde nezáleží na poradí a každý prvok možno použiť najviac raz.

Náhodný pokus – pokus, ktorého výsledok vopred nevieme presne určiť (hod mincou, kockou…).

Elementárny jav – jeden konkrétny možný výsledok pokusu. Priestor elementárnych javov Ω – množina všetkých možných výsledkov.

Náhodný jav A – podmnožina Ω; môže, ale nemusí nastať.

Istý jav = Ω (vždy nastane). Nemožný jav = ∅ (nikdy nenastane).

• 0 ≤ P(A) ≤ 1 pre každý jav A
• P(∅) = 0  ·  P(Ω) = 1
• Ak sú A, B navzájom vylučujúce (A ∩ B = ∅): P(A ∪ B) = P(A) + P(B)
• Všeobecne: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)

Javy A a B sú nezávislé, ak nastanie A neovplyvňuje pravdepodobnosť B.

Štatistický súbor – skupina skúmaných objektov (napr. žiaci triedy). Rozsah n – počet prvkov súboru.

Vlastnosť, ktorú sledujeme (výška, hmotnosť, známka…). Môže byť kvantitatívny (číselný) alebo kvalitatívny (slovný).

Hodnota, ktorá sa v súbore vyskytuje najčastejšie.

Stredná hodnota usporiadaného súboru. Pri párnom n = priemer dvoch stredných hodnôt.

Merajú rozptýlenosť dát okolo priemeru.

Malé σ → dáta blízko priemeru  ·  Veľké σ → dáta sú veľmi rozptýlené

Rovnica – matematický zápis rovnosti dvoch výrazov, ktoré obsahujú premennú (neznámu) x.

Koreň rovnice – hodnota x, pre ktorú rovnica platí (ľavá strana = pravá strana).

Nerovnica – vzťah dvoch výrazov spojených znakom <, >, ≤, ≥. Riešením je množina hodnôt.

Úpravy, ktoré nemenia množinu koreňov:

• Pridanie/odčítanie toho istého čísla na oboch stranách
• Násobenie/delenie oboch strán tým istým nenulovým číslom

Úpravy, ktoré môžu zmeniť množinu koreňov – treba skontrolovať:

• Umocnenie oboch strán (môže pridať cudzie korene)
• Delenie výrazom, ktorý môže byť nulový (môže stratiť koreň)
• Logaritmovanie (obmedzuje definičný obor)

Rovnaké ako pre rovnice, ale pozor: násobenie/delenie záporným číslom otočí znamienko nerovnosti!

Určíme dosadením rovnice priamky do rovnice kružnice → kvadratická rovnica s diskriminantom D:

Alternatívne: porovnáme vzdialenosť d stredu od priamky s polomerom r:

• d < r → sečnica
• d = r → dotyčnica
• d > r → vonkajšia

Uhol φ dvoch priamok so smernicami k₁ a k₂:

Pre priamky so smerovými vektormi u a v:

Uhol φ medzi priamkou (smerový vektor u) a rovinou (normálový vektor n):

Uhol φ dvoch rovín s normálovými vektormi n₁ a n₂:

Priamka p je kolmá na rovinu α, ak je kolmá na každú priamku ležiacu v rovine α.

s = √(r² + v²) je tvornica (šikmá výška) kužeľa.